| Minicourses | Talks | Communications |
| C. Favre | A. Bustinduy | Y. Genzmer |
| X. Gómez-Mont | F. J. Calderón Moreno | M. J. Soto Prieto |
| F. Cano Torres | ||
| D. Marín | ||
| J. F. Mattei | ||
| M. Spivakovsky |
Minicourses
Charles Favre (Institut Mathématique de Jussieu, Paris)
Título: Dynamical system on valuation space.
Resumen: The degree deg(P) of a polynomial map P: C2 ® C2 is a basic algebraic invariant which is however not suited for dynamical purposes. One is naturally led to introduce the following "dynamical degree" l(P) = limn deg(P n)1/n, which is invariant under conjugacy by any polynomial automorphism. Our aim is to compute this number, and to relate it to informations on the dynamical behaviour of P near infinity. Along the way we shall prove that l(P) is always a quadratic integer.
Our method relies on a careful study of the action of P on the set V of valuations on C[x,y] centered at infinity. This set turns out to be a real metric tree. We use the notion of approximate roots in order to describe the fine structure of this tree. This allows us to prove P admits a fixed point in V which attracts the valuation –deg. This latter property is the key to the understanding of the sequence deg(P n).
This is a joint work with M. Jonsson.
Xavier Gómez-Mont (CIMAT, Guanajuato, México)
Título: Invariantes Locales de Campos de Vectores.
Resumen: Un campo de vectores en n variables se describe con n funciones X = (X1, ¼, Xn). Los puntos críticos del campo de vectores Z son aquellos puntos definidos por X1=L =Xn=0 y la multiplicidad de intersección nos dice cuantos puntos críticos (de peso 1) se encuentran concentrados en Z. Este número es un invariante topológico y es fácil ver que se corresponde con el Índice de Poincaré-Hopf para Campos de Vectores. El Teorema de Poincaré-Hopf nos dice que en variedades compactas la suma de los índices de un campo de vectores es igual a la característica de Euler-Poincaré de la variedad, indicando una conexión entre números locales y globales.
Algebraicamente, podemos tomar el anillo B formado de cocientar el anillo de funciones locales módulo el ideal generado por las funciones X1, ¼, Xn. Su dimensión nos da el índice de Poincaré-Hopf, pero tiene una estructura multiplicativa de álgebra conmutativa que contiene información valiosa.
Supongamos que el campo de vectores X es tangente a la hipersupericie V definida por f = 0. Podría uno preguntarse cuántos de los puntos críticos Z pertenecen a V. Una primera respuesta es la dimensión del anillo obtenido al cocientar por f, X1, ¼, Xn. Esta respuesta es válida en puntos lisos de V pero no en puntos singulares. Hay un término de corrección.
El término de corrección se puede calcular en el álgebra B. Pero mágicamente, también se puede calcular en el álgebra de Milnor A obtenida de al cocientar por las derivadas parciales f1, ¼, fn de f. Pero como ha demostrado Milnor, Brieskorne, esta álgebra A carga información topológica de la contracción que le pasa a la fibra f –1(t) al llegar t=0.
Encontramos que el álgebra B tiene un pedazo que se corresponde con un pedazo del álgebra A, siendo este un reflejo local del Teorema de Poincaré-Hopf.
La manera de encontrar estos pedazos y de mostrar su isomorfismo es a través del Algebra Homológica: Podemos formar un complejo al contraer formas diferenciales con el campo de vectores X. Por un Teorema de Koszul, esto sólo tiene homología en nivel 0, y la 0-homología es B. Sin embargo cuando tomamos las formas diferenciales en la hipersuperficie y consideramos el correspondiente complejo, esta ya tiene homología no trivial en otras dimensiones. Interesa tomar la característica de Euler de la homología del complejo, y este es un buen invariante topológico. Mostramos mediante una sucesión espectral que estos grupos son sencillos y calculables en términos de la estructuta de álgebra de B. La sucesión espectral nos enseñará que también puede uno calcularlos usando el álgebra A.
Cuando nos restringimos a los números reales todavía es más divertido, pues los números pueden valer +1 o –1. Esto lleva a la introducción de formas bilineales y otra vez a fijarnos en la estructura más fina definida por la multiplicación en las álgebras A y B.
Talks
Álvaro Bustinduy (Universidad Antonio de Nebrija, Madrid)
Título: Sobre las trayectorias complejas transcendentes de un campo vectorial polinómico en C2.
Resumen: Demostraremos que todo campo vectorial polinómico X que es (C-)completo sobre una trayectoria compleja Cz transcendente (es decir, propia y no algebraica ) es completo. La prueba de este resultado se basará en el estudio de los ceros y polos de una 1-forma meromorfa en P1, que asociaremos a X, y que nos permitirá parametrizar los finales de Cz.
Francisco Javier Calderón Moreno (Universidad de Sevilla)
Título: D-módulos logarítmicos: estudio de los divisores libres.
Resumen: En esta charla expondré resultados obtenidos conjuntamente con Luis Narváez sobre D-módulos logarítmicos a lo largo de un divisor, centrándonos especialmente en el caso particular en el que el divisor sea libre. Estos resultados incluyen:
Propiedades de las Conexiones logarítmicas (que son un caso particular de módulos logarítmicos).
Resoluciones logarítmicas de las conexiones meromorfas con respecto al divisor.
Aplicaciones al polinomio de Bernstein asociado a la ecuación de un divisor.
Ejemplos.
Felipe Cano Torres (Universidad de Valladolid)
Título: Trayectorias no oscilantes de campos de vectores y valoraciones.
Resumen: Se trata de un trabajo conjunto con Moussu y Rolin y en curso con Roche. Una curva integral no oscilante de un campo de vectores que se aproxima asintóticamente al origen determina un cuerpo de Hardy y por consiguiente una valoración natural. Esta valoración está asociada a las tangentes iteradas de la curva y puede ser utilizada para obtener una reducción de singularidades del campo de vectores polarizada por dichas tangentes iteradas. El resultado clave son propiedades de finitud de la valoración que obtenemos gracias a un teorema de J. Cano, Grigoriev y Singer, basado en el método de Newton-Puiseux para ecuaciones diferenciales de orden superior.
David Marín (Universitat Autònoma de Barcelona)
Título: Aspectos topológicos de singularidades de foliaciones holomorfas en dimensión dos.
Resumen: En esta charla abordaremos el problema de la clasificación topológica de singularidades de campos de vectores X en (C2,0). Comenzaremos recordando algunos resultados en el caso en que la reducción de la singularidad se efectúe tras una única explosión, o más generalmente, tras una secuencia "quasi-homogénea" de explosiones. En el caso general, es posible descomponer el complementario U* de las separatrices de X en "piezas" del tipo quasi-homogéneo anterior. Sin embargo, para abordar el problema de la clasificación topológica con toda generalidad, es necesario probar la siguiente propiedad topológica de las trayectorias de X: Toda hoja L de la foliación definida por X es incompresible en U*, es decir, p1(L) ® p1(U*). Bajo hipótesis "genéricas", daremos algunas ideas de la prueba de un resultado un poco más general.
Jean-François Mattei (Université Paul Sabatier (Toulouse III))
Título: Undfolding and cobordism for singular holomorphic foliations in dim 2.
Resumen: To be announced.
Mark Spivakovsky (Université Paul Sabatier (Toulouse III))
Título: Puiseux expansions with non-well ordered support (a valuative version of Nash's space arcs) and local uniformization.
Resumen: En esta conferencia se introducirán series de Puiseux asociadas a una valoración n, centrada en un anillo local noetheriano. Los exponentes de estas series viven en la parte positiva G+ del grupo de valores G de n. No se supone que el soporte de las series esté bien ordenado. Los coeficientes aig, g ÎG+ de las series de Puiseux son variables formales. Se verá que la valoración induce un numero infinito de relaciones algebraicas sobre los coeficientes aig. Este objeto generaliza el espacio de arcos de Nash (grosso modo, el espacio de arcos de Nash corresponde al caso particular G= Z). El Teorema de Uniformización Local se puede ver como una generalización del bien conocido fenómeno de "eliminación" en el espacio de arcos.
Comunicaciones
Yohann Genzmer (Université Paul Sabatier (Toulouse III))
Título: A local non-linear Riemann-Hilbert type problem.
Resumen: We show a theorem of local non linear Riemann Hilbert type. More precisely, for a germ of singular foliation F in C2 with A as reduction tree, we build a foliation F which is obtained by iso-holonomic deformation of F on any tree with same dual tree than A. This theorem gives some informations about the cobordism class of F and has the following consequence:
Let F be a germ of foliation with S as invariant curve. Let S' be topologically equivalent to S. Then there exists a foliation F' topologically equivalent to F with S' as invariant curve.
Manuel Jesús Soto Prieto (Universidad de Sevilla)
Título: Conos poliédricos y ecuaciones algebraicas.
Resumen: Expondré brevemente algunos resultados recientes sobre la resolución de ecuaciones dadas por un polinomio de Weierstrass
P(x,z) = zm + h1(x) zm-1 + L + hm(x) = 0.
Demostraremos, por ejemplo, que las raices están contenidas en un cono poliédrico que se puede llevar al primer cuadrante mediante explosiones. Más aún, en dimensión 2 este resultado es equivalente al Teorema de Jung-Abhyankar.